|
Nous adressons à nos lecteurs tous nos meilleurs voeux pour cette nouvelle année 2025.
Pour respecter la tradition, nous les invitons à commencer cette année par la résolution de plusieurs énigmes qui mettent le millésime du carré parfait 2025 à l'honneur.
A1607 – Le classique du 1er janvier 2025 {* à la main]
Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui donne un résultat égal à 2025 et fait intervenir :
1) les neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre, les concaténations étant interdites.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9.
2) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant interdites.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = – 1 + 5 x 6 + 8 x 9
3) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pas nécessairement pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant autorisées.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = 3 x 4 + 89
A1608 – Deux zestes de notation polonaise inversée [** à la main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Q1 Déterminer le nombre correspondant à cette expression écrite en notation polonaise inversé (1).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x x + − x − + x (2)
Q2 Transformer cette expression symbolique en notation classique avec les parenthèses strictement nécessaires : a b c d e – f / g /x h / / − i x (2)
Application numérique : valeur de l'expression avec a = 1, b = 2, ... i = 9
Nota : (1) Pour plus de détail sur cette notation, se reporter à l’article de Wikipedia NPI
(2) Les signes +, − , x et / représentent respectivement l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.
A1621‒ La saga de la jonglerie des chiffres (16ième épisode) [* à *** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Q1 Sachant que A est un chiffre de 1 à 9,B,C et D des chiffres de 0 à 9,déterminer l’entier de 12 chiffres:
AB20242025CD divisible par 11088.
Q2 Déterminer le plus petit entier n et le plus grand entier N dont la somme des chiffres et le produit des chiffres sont tous deux égaux à 2025.
Q3 Déterminer l’entier n tel que 
Nota : les trois questions sont indépendantes
A2948 – La matrice du millésime [*** à la main]
A et B sont deux matrices de dimensions respectives (3 x 2) et (2 x 3).
Leur produit AB est la matrice suivante:
Déterminer les termes de la matrice BA.
A5929 – A la fois somme et produit [** à la main]
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Cet entier impair n a la propriété (P) suivante : le carré n2 est à la fois un terme de la liste des sommes des premiers cubes parfaits. 1,8,27,64,….. et le produit des diviseurs propres(1) de n.
Q1 Déterminer la plus petite valeur possible de n et la valeur correspondante de n2 puis toutes les valeurs possibles de n ≤ 2025.
Q2 Prouver qu’il y a une infinité dénombrable d’entiers impairs qui ont la propriété (P)
(1)Les diviseurs propres de n divisent n à l’exclusion de n lui-même.
G1935 – Une urne bien remplie [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Une urne contient 990 boules rouges et des boules bleues en plus grand nombre. Quand Zig effectue des tirages de deux boules sans remise, il constate qu’il a une chance sur deux d’avoir deux boules de la même couleur.
Q1 Déterminer le nombre total de boules dans l’urne.
Q2 Zig effectue le tirage de trois boules sans remise. Déterminer la probabilité pour qu’elles soient de la même couleur.
Q3 Après le tirage exhaustif des trois boules par Zig, Puce prend le relais. Sachant que Zig a tiré trois boules de la même couleur, Puce a-t-il autant de chance de tirer une quatrième boule de même couleur que les trois premières que de tirer une quatrième boule de couleur différente ?
G2806 – Des lignes et des rectangles [*** à la main]
Déterminer le nombre maximum de rectangles que l’on peut former à partir de 20 lignes droites
G2948 – Les facéties de Puce [** à la main]
L’ouverture et la fermeture des N cabines d’un très grand vestiaire sont commandées à partir d’un pupitre central qui comporte des boutons numérotés de 1 à N . Si on appuie sur le bouton n°k, l’état des cabines dont les numéros sont des multiples ≥ 1 de k est modifié, les cabines ouvertes sont fermées et les cabines fermées sont ouvertes.
A l’origine toutes les cabines sont ouvertes. Puce, facétieux, appuie sur tous les boutons une fois et une seule dans un ordre quelconque. Zig constate alors qu’il y a exactement 45 cabines fermées. Déterminer la plus petite valeur possible de N.
|
